Fonction périodique

Définition  

Soit \(f\)  une fonction définie sur un intervalle  \(\text{I}\) de \(\mathbb R\) et \(T\) un réel.
La fonction  \(f\) est périodique de période  \(T\) (ou \(T\) -périodique) sur \(\text I\) si et seulement si, pour tout  \(x\in\text{I}\) ,  \(x+T\in \text I\) et \(f(x+T)=f(x)\) .

Les figures suivantes montrent deux exemples de courbe représentative de fonctions périodiques. 

Remarques

• La courbe représentative d'une fonction périodique possède une propriété d'invariance par translation. Soit \(k\) un entier relatif et \(\text{A}(x_\text{A};y_\text{A})\) et \(\text{B}(x_\text{B};y_\text{B})\) deux points de la courbe représentative d'une fonction périodique de période  \(T\) tels que  \(x_\text{B}-x_\text{A}=kT\) . D'après la définition de fonction périodique, \(y_\text{A}=y_\text{B}\) . La portion de courbe représentative comprise entre \(\text A\) et \(\text B\) est superposable à toute autre portion de la courbe comprise entre deux points \(\text A'\) et \(\text B'\) tels que \(x_\text{A'}=x_\text{A}+mT\) , où \(m\) est un entier relatif, et \(x_\text{B'}-x_\text{A'}=kT\) .
  
• Lorsqu'on étudie une fonction périodique de période \(T\) sur son ensemble de définition  \(\text I\) , il suffit de l'étudier sur un intervalle \(\text J\) contenu dans \(\text I\) et d'amplitude \(T\) puis d'utiliser la propriété de périodicité pour étendre l'étude à tout \(\text I\) .